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《开元大衍历》演纪上元阏逢困敦之岁,距今开

历三

历四上

开元《大衍历经》

旧唐书卷三十八

《开元大衍历》演纪上元阏逢困敦之岁,距开元十二年甲子,积九千六百九十 六万一千七百四十算。

演纪上元阏逢困敦之岁,距今开元十二年甲子岁,岁积九千六百六十六万一千 七百四十算。

志第十四  历三

○一曰步中朔术

大衍步中朔第一

  开元《大衍历经》

通法三千四十。

大衍通法:三千四十。

  演纪上元阏逢困敦之岁,距今开元十二年甲子岁,岁积九千六百六十六万一千七百四十算。

策实百一十一万三百四十三。

策实:一百一十一万三百四十三。

  大衍步中朔第一

揲法八万九千七百七十三。

揲法:八万九千七百七十三。

  大衍通法:三千四十。

减法九万一千二百。

灭法:九万一千三百。

  策实:一百一十一万三百四十三。

策余万五千九百四十三。

策馀:一万五千九百四十三。

  揲法:八万九千七百七十三。

用差万七千一百二十四。

用差:一万七千一百二十四。

  灭法:九万一千三百。

挂限八万七千一十八。

挂限:八万七千一十八。

  策馀:一万五千九百四十三。

三元之策十五,余六百六十四,秒七。

三元之策:一十五;馀,六百六十四;秒,七。

  用差:一万七千一百二十四。

四象之策二十九,余千六百一十三。

四象之策:二十九;馀,一千六百一十三。

  挂限:八万七千一十八。

中盈分千三百二十八,秒十四。

中盈分:一千三百二十八;秒,十四。

  三元之策:一十五;馀,六百六十四;秒,七。

朔虚分千四百二十七。

爻数:六十。

  四象之策:二十九;馀,一千六百一十三。

爻数六十。

象统:二十四。

  中盈分:一千三百二十八;秒,十四。

象统二十四。

推天正中气 以策实乘入元距所求积算,命曰中积分。盈大衍通法得一,为积 日。不盈者,为小馀。爻数去积日,不尽日为大馀。数从甲子起算外,即所求年天 正中气冬至日及小馀也。

  爻数:六十。

以策实乘积算,曰中积分。盈通法得一,为积日。爻数去之,余起甲子算外, 得天正中气。凡分为小余,日为大余。加三元之策,得次气。凡率相因加者,下有 余秒,皆以类相从。而满法迭进,用加上位。日盈爻数去之。

求次气 因天正中气大小馀,以三元之策及馀秒加之。其秒盈象统,从小馀。 小馀满大衍通法,从大馀。大馀满爻数,去之。命如前,即次气恆日及馀秒。凡率 相因加者,下有馀秒,皆以类相从。而满其法,则迭进之,用加上位。日盈爻数, 去之也。

  象统:二十四。

以揲法去中积分,不尽曰归余之挂。以减中积分,为朔积分。如通法为日,去 命如前,得天正经朔。加一象之日七、余千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。 参之,得下弦。四之,是谓一揲,得后月朔。凡四分,一为少,三为太。综中盈、 朔虚分,累益归余之挂,每其月闰衰。凡归余之挂五万六千七百六十以上,其岁有 闰。因考其闰衰,满挂限以上,其月合置闰。或以进退,皆以定朔无中气裁焉。

推天正合朔 以揲法去中积分。其所不尽,曰归馀之卦。以减积积分,馀为朔 积分。乃如大衍通法而一,为日。不尽,为小馀。日盈爻数,去之。不盈者,为大 馀。命以甲子算外,即所求年天正合朔经日及小馀也。

  推天正中气 以策实乘入元距所求积算,命曰中积分。盈大衍通法得一,为积日。不盈者,为小馀。爻数去积日,不尽日为大馀。数从甲子起算外,即所求年天正中气冬至日及小馀也。

凡常气小余不满通法、如中盈分之半已下者,以象统乘之,内秒分,参而伍之, 以减策实;不尽,如策余为日。命常气初日算外,得没日。凡经朔小余不满朔虚分 者,以小余减通法,余倍参伍乘之,用减灭法;不尽,如朔虚分为日。命经朔初日 算外,得灭日。

求次朔及弦望 因天正经朔大小馀,以四象之策及馀加之。数除如法,即次朔 经日及馀也。又自经朔加一象之日七及馀一千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。 参之,得下弦。四之,是谓一揲,复得后月之朔。凡四分一为少,二为半,三为太, 四为全。加满其前数,去之,从上位。综中朔盈虚分,累益归馀之卦,每其月闰衰。 凡归馀之卦五万六千七百六十以上,其岁有闰。因考其闰衰,满卦限以上,其月及 合置闰。或有进退,皆以定朔无中气裁焉。

  求次气 因天正中气大小馀,以三元之策及馀秒加之。其秒盈象统,从小馀。小馀满大衍通法,从大馀。大馀满爻数,去之。命如前,即次气恆日及馀秒。凡率相因加者,下有馀秒,皆以类相从。而满其法,则迭进之,用加上位。日盈爻数,去之也。

○二曰发敛术

推没日 置有没之气恆小馀,以象统乘之,内秒分,参而伍之,以减策实。馀 满策馀,为日。不满,为没馀。命起也。凡恆气小馀,不满大衍通法,如中盈分半 法已下,为有没之气。

  推天正合朔 以揲法去中积分。其所不尽,曰归馀之卦。以减积积分,馀为朔积分。乃如大衍通法而一,为日。不尽,为小馀。日盈爻数,去之。不盈者,为大馀。命以甲子算外,即所求年天正合朔经日及小馀也。

天中之策五,余二百二十一,秒三十一;秒法七十二。

推灭日 以有灭之朔经小馀,减大衍通法。馀,倍参伍乘之,用减灭法。馀, 满朔虚分,为日。不满,为灭馀。命起经朔初日算外,即合朔后灭日也。凡经朔小 馀不满朔虚分者,为有灭之朔。

  求次朔及弦望 因天正经朔大小馀,以四象之策及馀加之。数除如法,即次朔经日及馀也。又自经朔加一象之日七及馀一千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。参之,得下弦。四之,是谓一揲,复得后月之朔。凡四分一为少,二为半,三为太,四为全。加满其前数,去之,从上位。综中朔盈虚分,累益归馀之卦,每其月闰衰。凡归馀之卦五万六千七百六十以上,其岁有闰。因考其闰衰,满卦限以上,其月及合置闰。或有进退,皆以定朔无中气裁焉。

地中之策六,余二百六十五,秒八十六;秒法百二十。

大衍步发敛术第二

  推没日 置有没之气恆小馀,以象统乘之,内秒分,参而伍之,以减策实。馀满策馀,为日。不满,为没馀。命起也。凡恆气小馀,不满大衍通法,如中盈分半法已下,为有没之气。

贞悔之策三,余百三十二,秒百三。

天中之策:五;馀,二百二十二;秒,三十一。秒法:七十二。

  推灭日 以有灭之朔经小馀,减大衍通法。馀,倍参伍乘之,用减灭法。馀,满朔虚分,为日。不满,为灭馀。命起经朔初日算外,即合朔后灭日也。凡经朔小馀不满朔虚分者,为有灭之朔。

辰法七百六十。

地中之策:十八;馀,一百六十五;秒,八十六。秒法:一百二十。

  大衍步发敛术第二

刻法三百四。

贞晦之策:三;馀,一百三十二;秒,一百三。秒法:如前。

  天中之策:五;馀,二百二十二;秒,三十一。秒法:七十二。

各因中节命之,得初候。加天中之策,得次候。又加,得末候。因中气命之, 得公卦用事。以地中之策累加之,得次卦,若以贞悔之策加侯卦,得十有二节之初 外卦用事。因四立命之,得春木、夏火、秋金、冬水用事。以贞悔之策减季月中气, 得土王用事。凡相加减而秒母不齐,当令母互乘子,乃加减之;母相乘为法。

辰法:七百六十。

  地中之策:十八;馀,一百六十五;秒,八十六。秒法:一百二十。

各以能法约其月闰衰,为日,得中气去经朔日算。求卦、候者,各以天、地之 策,累加减之。凡发敛加时,各置其小余,以六爻乘之,如辰法而一,为半辰之数。 不尽者,三约为分。分满刻法为刻。若令满象积为刻者,即置不尽之数,十之,十 九而一,为分。命辰起子半算外。

刻法:三百四。

  贞晦之策:三;馀,一百三十二;秒,一百三。秒法:如前。

○三曰步日躔术

推七十二候 各因中节大小馀命之,即初候日也。以天中之策及馀秒加之,数 除如法,即次候日。又加,得末候日。凡发敛,皆以恆气。

  辰法:七百六十。

干实百一十一万三百七十九太。

推六十卦 各因中气大小馀命之,公卦用事日也。以地之策及馀秒累加之,数 除如法,各次卦用事日。若以贞晦之策加诸候卦,得十二节之初外卦用事日。

  刻法:三百四。

周天度三百六十五,虚分七百七十九太。

推五行用事 各因四立大小馀命之,即春木、夏火、秋金、冬水首用事日也。 以贞晦之策及馀秒,减四季中气大小馀,即其月土始用事日。凡抽加减而有秒者, 母若不齐,当令母互乘子。乃加减之。母相乘为法。

  推七十二候 各因中节大小馀命之,即初候日也。以天中之策及馀秒加之,数除如法,即次候日。又加,得末候日。凡发敛,皆以恆气。

岁差三十六太。

推发敛去朔 各置其月闰衰,以大衍通法约之,为日。不尽为馀,即其月中气 去经朔日算及馀秒也。求卦候者,各以天地之策及馀秒累加减之,中气之前以减, 中气之后以加。得去经朔日算及馀秒。

  推六十卦 各因中气大小馀命之,公卦用事日也。以地之策及馀秒累加之,数除如法,各次卦用事日。若以贞晦之策加诸候卦,得十二节之初外卦用事日。

以盈缩分盈减、缩加三元之策,为定气所有日及余。乃十二乘日,又三其小余, 辰法约而一,从之,为定气辰数。不尽,十之,又约为分。以所入气并后气盈缩分, 倍六爻乘之,综两气辰数除之,为末率。又列二气盈缩分,皆倍六爻乘之,各如辰 数而一;以少减多,余为气差。至后以差加末率,分后以差减末率,为初率。倍气 差,亦倍六爻乘之,复综两气辰数除,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以 日差至后以减、分后以加气初定率,为每日盈缩分。乃驯积之,随所入气日加、减 气下先、后数,各其日定数。其求朓朒仿此。冬至后为阳复,在盈加之,在缩减之; 夏至后为阴复,在缩加之,在盈减之。距四正前一气,在阴阳变革之际,不可相并, 皆因前末为初率。以气差至前加之,分前减之,为末率。余依前术,各得所求。其 分不满全数,母又每气不同,当退法除之。以百为母,半已上,收成一。冬至、夏 至偕得天地之中,无有盈、缩。余各以气下先后数先减、后加常气小余,满若不足, 进退其日,得定大小余。凡推日月度及轨漏、交蚀,依定气;注历,依常气。以减 经朔、弦、望,各其所入日算。若大余不足减,加爻数,乃减之。减所入定气日算 一,各以日差乘而半之;前少以加、前多以减气初定率,以乘其所入定气日算及余 秒。凡除者,先以母通全,内子,乃相乘;母相乘除之。所得以损益朓朒积,各其 入朓朒定数。若非朔、望有交者,以十二乘所入日算;三其小余,辰法除而从之; 以乘损益率,如定气辰数而一。所得以损益朓朒积,各为定数。

推发敛加时 各置其小馀,以六爻乘之,如辰法而一,为半辰之数。不尽者, 五之,三刻法除之,为刻。又不尽者,三约为分。此分满刻法为刻,若令满象积为 刻者,即置不尽之数,十之,十九而一,为分。命起子半算外,各其加时所在辰刻 及分也。

  推五行用事 各因四立大小馀命之,即春木、夏火、秋金、冬水首用事日也。以贞晦之策及馀秒,减四季中气大小馀,即其月土始用事日。凡抽加减而有秒者,母若不齐,当令母互乘子。乃加减之。母相乘为法。

南斗二十六,牛八,婺女十二,虚十,虚分七百七十九太。危十七,营室十六, 东壁九,奎十六,娄十二,胃十四,昴十一,毕十七,觜觿一,参十,东井三十三, 舆鬼三,柳十五,七星七,张十八,翼十八,轸十七,角十二,亢九,氐十五,房 五,心五,尾十八,箕十一,为赤道度。其毕、觜觿、参、舆鬼四宿度数,与古不 同,依天以仪测定,用为常数。纮带天中,仪极攸凭,以格黄道。

大衍步日躔术第三

  推发敛去朔 各置其月闰衰,以大衍通法约之,为日。不尽为馀,即其月中气去经朔日算及馀秒也。求卦候者,各以天地之策及馀秒累加减之,中气之前以减,中气之后以加。得去经朔日算及馀秒。

推冬至岁差所在,每距冬至前后各五度为限,初数十二,每限减一,尽九限, 数终于四。当二立之际,一度少强,依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限 增一,尽九限,终于十二,而黄道交复。计春分后、秋分前,亦五度为限。初数十 二,尽九限,数终于四。当二立之际,一度少强,依平。乃距夏至前后,初限起四, 尽九限,终于十二。皆累裁之,以数乘限度,百二十而一,得度;不满者,十二除, 为分。若以十除,则大分,十二为母,命太、半、少及强、弱。命曰黄、赤道差数。 二至前、后各九限,以差减赤道度,二分前、后各九限,以差加赤道度,各为黄道 度。

乾实:一百一十一万三百七十九太。周天度:三百六十五。虚分七百七十九太。

  推发敛加时 各置其小馀,以六爻乘之,如辰法而一,为半辰之数。不尽者,五之,三刻法除之,为刻。又不尽者,三约为分。此分满刻法为刻,若令满象积为刻者,即置不尽之数,十之,十九而一,为分。命起子半算外,各其加时所在辰刻及分也。

开元十二年,南斗二十三半,牛七半,婺女十一少,虚十,六虚之差十九太。 危十七太,营室十七少,东壁九太,奎十七半,娄十二太,胃十四太,昴十一,毕 十六少,觜觿一,参九少,东井三十,舆鬼二太,柳十四少,七星六太,张十八太, 翼十九少,轸十八太,角十三,亢九半,氐十五太,房五,心四太,尾十七,箕十 少,为黄道度,以步日行。日与五星出入,循此。求此宿度,皆有余分,前后辈之 成少、半、太,准为全度。若上考往古,下验将来,当据岁差,每移一度,各依术 算,使得当时度分,然后可以步三辰矣。

岁差:三十六太。

  大衍步日躔术第三

以乾实去中积分,不尽者,盈通法为度。命起赤道虚九,宿次去之,经虚去分, 至不满宿算外,得冬至加时日度。以三元之策累加之,得次气加时日度。

求每日先后定数 以所入气并后气盈缩分,倍六爻乘之,综两气辰数除,入之, 为末率。又列二气盈缩分,皆倍六爻乘之,各如辰数而一,以少减多,馀为气差。 加减末率,至后以差加,分后以差减。为初率。倍气差,亦六爻乘之,复综两气辰 数以除之,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以日差累加减气初定率,至后 以差减,分后以差加。为每日盈缩分。乃驯积之,随所入气日加减气下先后数,各 其日定。冬至后为阳复,在盈加之,在缩减之。夏至后为阴复,在缩加之,在盈减 之。距四正前一气,在阴阳变革之际,不可相并,皆因前末为初率。以气差至前加 之,分前减之,为末率。馀依前率,各得所求。其朓朒亦放此求之,各得每日定数。 其分不满全数,母又每气不同,当退法除之,用百为母,半已上从一,已下弃之。 下求轨漏,馀分不满准此。

  乾实:一百一十一万三百七十九太。周天度:三百六十五。虚分七百七十九太。

以度余减通法,余以冬至日躔距度所入限数乘之,为距前分。置距度下黄、赤 道差,以通法乘之,减去距前分,余满百二十除,为定差。不满者,以象统乘之, 复除,为秒分。乃以定差减赤道宿度,得冬至加时黄道日度。

推二十四气定日 冬夏至皆在天地之中,无有盈缩。馀各以气下先后数,先减 后加恆气小馀。满若不足,进退其日。命从甲子算外,各其定日及馀秒也。凡推日 月行度及轨漏交蚀,并依定气。若注历即依恆气也。

  岁差:三十六太。

又置岁差,以限数乘之,满百二十除,为秒分。不尽为小分。以加三元之策, 因累裁之。命以黄道宿次,各得定气加时日度。

推平朔四象 以定气相距置朔弦望经日大小馀,以所入定气大小馀及秒分减之, 各其所入定气日算及馀秒也。若大馀少不足减者,加爻数,然后减之。其弦望小馀 有少半太,当以爻乘之,乃以气秒分减,退一加象统。小馀不足减,退日算一,加 大衍通法也。

  求每日先后定数 以所入气并后气盈缩分,倍六爻乘之,综两气辰数除,入之,为末率。又列二气盈缩分,皆倍六爻乘之,各如辰数而一,以少减多,馀为气差。加减末率,至后以差加,分后以差减。为初率。倍气差,亦六爻乘之,复综两气辰数以除之,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以日差累加减气初定率,至后以差减,分后以差加。为每日盈缩分。乃驯积之,随所入气日加减气下先后数,各其日定。冬至后为阳复,在盈加之,在缩减之。夏至后为阴复,在缩加之,在盈减之。距四正前一气,在阴阳变革之际,不可相并,皆因前末为初率。以气差至前加之,分前减之,为末率。馀依前率,各得所求。其朓朒亦放此求之,各得每日定数。其分不满全数,母又每气不同,当退法除之,用百为母,半已上从一,已下弃之。下求轨漏,馀分不满准此。

置其气定小余,副之。以乘其日盈、缩分,满通法而一,盈加、缩减其副。用 减其日加时度余,得其夜半日度。因累加一策,以其日盈、缩分盈加、缩减度余, 得每日夜半日度。

求朔弦望经日入朓朒 各置其所入定气日算及馀秒。减日算一,各以日差乘而 半之,以加减其气初定率,前少,加之;前多,减之。以乘其所入定气日算及馀秒。 凡除者,先以母通全,内子,乃相乘,母相乘除之也。若忽微之数烦多而不甚相校 者,过半收为全,不盈半法,弃之。所得以损益朓朒积,各为其日所入朓朒定数。 若非朔望有交者,以十二乘所入日算。三其小馀,辰法除而从之。以乘损益率,如 定气辰数而一。所得以损益朓朒积,各为定数也。

  推二十四气定日 冬夏至皆在天地之中,无有盈缩。馀各以气下先后数,先减后加恆气小馀。满若不足,进退其日。命从甲子算外,各其定日及馀秒也。凡推日月行度及轨漏交蚀,并依定气。若注历即依恆气也。

○四曰步月离术

赤道宿度

  推平朔四象 以定气相距置朔弦望经日大小馀,以所入定气大小馀及秒分减之,各其所入定气日算及馀秒也。若大馀少不足减者,加爻数,然后减之。其弦望小馀有少半太,当以爻乘之,乃以气秒分减,退一加象统。小馀不足减,退日算一,加大衍通法也。

转终六百七十万一千二百七十九。

右北方七宿九十八度虚分七百七十九太

  求朔弦望经日入朓朒 各置其所入定气日算及馀秒。减日算一,各以日差乘而半之,以加减其气初定率,前少,加之;前多,减之。以乘其所入定气日算及馀秒。凡除者,先以母通全,内子,乃相乘,母相乘除之也。若忽微之数烦多而不甚相校者,过半收为全,不盈半法,弃之。所得以损益朓朒积,各为其日所入朓朒定数。若非朔望有交者,以十二乘所入日算。三其小馀,辰法除而从之。以乘损益率,如定气辰数而一。所得以损益朓朒积,各为定数也。

转终日二十七,余千六百八十五,秒七十九。

右西方七宿八十一度

  赤道宿度

转法七十六。

右东方七宿七十五度

  右北方七宿九十八度虚分七百七十九太

转秒法八十。

前皆赤道度。其毕、觜、参及舆鬼四宿度数,与古不同,今并依天以仪测定, 用为常数。纮带天中,仪极攸凭,以格黄道也。推黄道,准冬至岁差所在,每距冬 至前后各五度为限。初数十二,每限减一,尽九限,数终于四。殷二立之际,一度 少强,依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限增一,尽九限,终于十二,而 黄道交复。计春分后、秋分前,亦五度为限,初数十二,尽九限,数终于四。殷二 立之际,一度少强,依平。乃距夏至前后,初限起四,尽九限,终于十二。皆累裁 之,以数乘限度,百二十而一,得度。不满者,十二除为分。若以十除,则大分。 十二为母,命以太半少及强弱。命曰黄赤道差数。二至前后,各九限,以差减赤道 度,为黄道度。二分前后,各九限,以差加赤道度,为黄道度。若从黄道度反推赤 道,二至前后各加之,二分前后须减之。

  右西方七宿八十一度

以秒法乘朔积分,盈转终去之;余复以秒法约,为入转分;满通法,为日。命 日算外,得天正经朔加时所入。因加转差日一、余二千九百六十七、秒一,得次朔。 以一象之策,循变相加,得弦、望。盈转终日及余秒者,去之。各以经朔、弦、望 小余减之,得其日夜半所入。

黄道宿度

  右东方七宿七十五度

各置朔、弦、望所入转日损益率,并后率而半之,为通率。又二率相减,为率 差。前多者,以入余减通法,余乘率差,盈通法得一,并率差而半之;前少者,半 入余,乘率差,亦以通法除之:为加时转率。乃半之,以损益加时所入,余为转余。 其转余,应益者,减法;应损者,因余。皆以乘率差,盈通法得一,加于通率,转 率乘之,通法约之,以朓减、朒加转率,为定率。乃以定率损益朓肉积,为定数。 其后无同率者,亦因前率。应益者,以通率为初数,半率差而减之;应损者,即为 通率。其损益入余进退日,分为二日,随余初末,如法求之,所得并以损益转率。 此术本出《皇极历》,以究算术之微变。若非朔、望有交者,直以入余乘损益率, 如通法而一,以损益朓朒,为定数。

右北方九十七度六虚之差十九太

  前皆赤道度。其毕、觜、参及舆鬼四宿度数,与古不同,今并依天以仪测定,用为常数。纮带天中,仪极攸凭,以格黄道也。推黄道,准冬至岁差所在,每距冬至前后各五度为限。初数十二,每限减一,尽九限,数终于四。殷二立之际,一度少强,依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限增一,尽九限,终于十二,而黄道交复。计春分后、秋分前,亦五度为限,初数十二,尽九限,数终于四。殷二立之际,一度少强,依平。乃距夏至前后,初限起四,尽九限,终于十二。皆累裁之,以数乘限度,百二十而一,得度。不满者,十二除为分。若以十除,则大分。十二为母,命以太半少及强弱。命曰黄赤道差数。二至前后,各九限,以差减赤道度,为黄道度。二分前后,各九限,以差加赤道度,为黄道度。若从黄道度反推赤道,二至前后各加之,二分前后须减之。

七日、初数二千七百一,末数三百三十九。十四日、初数二千三百六十三,末 数六百七十七。二十一日、初数二千二十四,末数千一十六。二十八日,初数千六 百八十六,末数千三百五十四。以四象约转终,均得六日二千七百一分。就全数约 为九分日之八。各以减法,余为末数。乃四象驯变相加,各其所当之日初、末数也。 视入转余,如初数已下者,加减损益,因循前率;如初数以上,则反其衰,归于后 率云。

右西方八十二度半

  黄道宿度

各置朔、弦、望大小余,以入气、入转朓朒定数,朓减、朒加之,为定朔、弦、 望大小余。定朔日名与后朔同者,月大;不同者,小;无中气者,为闰月。凡言夜 半,皆起晨前子正之中。若注历,观弦、望定小余,不盈晨初余数者,退一日。其 望有交、起亏在晨初已前者,亦如之。又月行九道迟疾,则有三大二小以日行盈、 缩累增、损之,则容有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所 近而进退之,使不过三大二小。其正月朔有交、加时正见者,消息前后一两月,以 定大小,令亏在晦、二。定朔、弦、望夜半日度,各随所直日度及余分命之。乃列 定朔、弦、望小余,副之。以乘其日盈、缩分,如通法而一,盈加、缩减其副。以 加夜半日度,各得加时日度。

右南方一百一十度半

  右北方九十七度六虚之差十九太

凡合朔所交,冬在阴历、夏在阳历,月行青道;冬至、夏至后,青道半交在春 分之宿,当黄道东。立冬、立夏后,青道半交在立春之宿,当黄道东南。至所冲之 宿,亦如之。冬在阳历、夏在阴历,月行白道;冬至、夏至后,白道半交在秋分之 宿,当黄道西。立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,当黄道西北。至所冲之宿, 亦如之。春在阳历、秋在阴历,月行硃道;春分、秋分后,硃道半交在夏至之宿, 当黄道南。立春、立秋后,硃道半交在立夏之宿,当黄道西南。至所冲之宿,亦如 之。春在阴历,秋在阳历,月行黑道。春分、秋分后,黑道半交在冬至之宿,当黄 道北,立春、立秋后,黑道半交在立冬之宿,当黄道东北。至所冲之宿,亦如之。 四序离为八节,至阴阳之所交,皆与黄道相会,故月有九行。各视月交所入七十二 候距交初中黄道日度,每五度为限,亦初数十二,每限减一,数终于四、乃一度强, 依平。更从四起,每限增一,终于十二,而至半交,其去黄道六度。又自十二,每 限减一,数终于四,亦一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十二,复与日轨 相会。各累计其数,以乘限度,二百四十而一,得度。不满者,二十四除,为分, 若以二十除之,则大分,以十二为母。为月行与黄道差数。距半交前后各九限,以 差数为减;距正交前后各九限,以差数为加。此加减出入六度,单与黄道相较之数。 若较之赤道,则随气迁变不常。计去冬至、夏至以来候数,乘黄道所差,十八而一, 为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴,外为阳;月以黄道内为阴,外为阳。故月 行宿度,入春分交后行阴历、秋分交后行阳历,皆为同名。若入春分交后行阳历、 秋分交后行阴历,皆为异名。其在同名,以差数为加者加之,减者减之;若在异名, 以差数为加者减之,减者加之。皆以增损黄道度,为九道定度。

右东方七十五度少

  右西方八十二度半

各以中气去经朔日算,加其入交泛,乃以减交终,得平交入中气日算。满三元 之策去之,余得入后节日算。因求次交者,以交终加之,满三元之策去之,得后平 交入气日算。

前皆黄道度。其步日行月与五星出入,循此。求此宿度,皆有馀分。前后辈之 成少、半、太,准为全度。若上考古下验将来,当据岁差。每移一度,各依术算, 使得当时宿度及分,然可步日月五星,知其犯守也。

  右南方一百一十度半

各以气初先后数先加、后减之,得平交入定气日算。倍六爻乘之,三其小余, 辰法除而从之,以乘其气损益率,如定气辰数而一,所得以损益其气朓朒积,为定 数。

推日度 以乾实去中积分。不尽者,盈大衍通法为度。不满,为度馀。命起赤 道虚九,去分。不满宿算外,即所求年天正冬至加时日所在度及馀也。以三元之策 累加之,命宿次如前,各得气初日加时赤道宿度。

  右东方七十五度少

又置平交所入定气余,加其日夜半入转余,以乘其日损益率,满通法而一,以 损益其日朓朒积,交率乘之,交数而一,为定数。乃以入气入转朓朒定数,朓减、 朒加平交入气余,满若不足,进退日算,为正交入定气日算。其入定气余,副之, 乘其日盈缩分,满通法而一,以盈加、缩减其副,以加其日夜半日度,得正交加时 黄道日度。以正交加时度余减通法,余以正交之宿距度所入限数乘之,为距前分。 置距度下月道与黄道差,以通法乘之,减去距前分,余满二百四十除,为定差;不 满者一退为秒。以定差及秒加黄道度、余,仍计去冬至、夏至已来候数乘定差,十 八而一,所得依名同异而加减之,满若不足,进退其度,得正交加时月离九道宿度。

求黄道日度 以度馀减大衍通法。馀以冬至日躔之宿距度所入限乘之,为距前 分。置距度下黄赤道差,以大衍通法乘之,减去距前分。馀,满百二十除,为定差。 不满者,以象统乘之。复除,为秒分。乃以定差及秒减赤道宿度。馀,依前命之, 即天正冬至加时所在黄道宿度及馀也。

  前皆黄道度。其步日行月与五星出入,循此。求此宿度,皆有馀分。前后辈之成少、半、太,准为全度。若上考古下验将来,当据岁差。每移一度,各依术算,使得当时宿度及分,然可步日月五星,知其犯守也。

各置定朔、弦、望加时日度,从九道循次相加。凡合朔加时,月行潜在日下, 与太阳同度,是谓离象。先置朔、弦、望加时黄道日度,以正交加时所在黄道宿度 减之,余以加其正交九道宿度,命起正交宿度算外,即朔、弦、望加时所当九道宿 度也。其合朔加时,若非正交,则日在黄道,月在九道,各入宿度虽多少不同,考 其去极,若应绳准。故云:月行潜在日下,与太阳同度。以一象之度九十一、余九 百五十四、秒二十二半为上弦,兑象。倍之,而与日冲,得望,坎象。参之,得下 弦,震象。各以加其所当九道宿度,秒盈象统从余,余满通法从度,得其日加时月 度。综五位成数四十,以约度余,为分;不尽者,因为小分。

求次定气 置岁差,以限数乘之,满百二十除,为秒分。不尽为小分。以加于 三元之策秒分,因累而裁之,命以黄道宿次去之,各得定气加时日躔所在宿及馀也。

  推日度 以乾实去中积分。不尽者,盈大衍通法为度。不满,为度馀。命起赤道虚九,去分。不满宿算外,即所求年天正冬至加时日所在度及馀也。以三元之策累加之,命宿次如前,各得气初日加时赤道宿度。

视经朔夜半入转,若定朔大余有进退者,亦加、减转日。否则因经朔为定。累 加一日,得次日,各以夜半入转余乘列衰,如通法而一,所得以进加、退减其日转 分,为月转定分。满转法,为度。

求定气初日夜半日所在度 各置其气定小馀,副之,以乘其日盈缩分,满大衍 通法而一,盈加缩减其副,用减其日时度馀,命如前,各其日夜半日躔行在。求次 日,各因定气初日夜半度,累加一策,乃以其日盈缩分,盈加缩减度馀,命以宿次, 即半日所在度及馀也。

  求黄道日度 以度馀减大衍通法。馀以冬至日躔之宿距度所入限乘之,为距前分。置距度下黄赤道差,以大衍通法乘之,减去距前分。馀,满百二十除,为定差。不满者,以象统乘之。复除,为秒分。乃以定差及秒减赤道宿度。馀,依前命之,即天正冬至加时所在黄道宿度及馀也。

视定朔、弦、望夜半入转,各半列衰以减转分。退者,定余乘衰,以通法除, 并衰而半之;进者,半余乘衰,亦以通法除:皆加所减。乃以定余乘之,盈通法得 一,以减加时月度,为夜半月度。各以每日转定分累加之,得次日。若以入转定分, 乘其日夜漏,倍百刻除,为晨分。以减转定分,余为昏分。望前以昏、望后以晨加 夜半度,各得晨、昏月。

大衍步月离术第四

  求次定气 置岁差,以限数乘之,满百二十除,为秒分。不尽为小分。以加于三元之策秒分,因累而裁之,命以黄道宿次去之,各得定气加时日躔所在宿及馀也。

各视每日夜半入阴阳历交日数,以其下屈伸积,月道与黄道同名者,加之;异 名者,减之。各以加、减每日辰昏黄道月度,为入宿定度及分。

转终分:六百七十万一千二百七十九。

  求定气初日夜半日所在度 各置其气定小馀,副之,以乘其日盈缩分,满大衍通法而一,盈加缩减其副,用减其日时度馀,命如前,各其日夜半日躔行在。求次日,各因定气初日夜半度,累加一策,乃以其日盈缩分,盈加缩减度馀,命以宿次,即半日所在度及馀也。

○五曰步轨漏术

转终日:二十七;馀,一千六百八十五;秒,七十九。

  大衍步月离术第四

爻统千五百二十。

转法:七十六。

  转终分:六百七十万一千二百七十九。

象积四百八十。

转秒法:八十。

  转终日:二十七;馀,一千六百八十五;秒,七十九。

辰八刻百六十分。

推天正经朔入转 以转终分去朔积分,不尽,以秒法乘,盈转终分又去之,馀 如秒法一而入转分。不尽为秒。入转分满大衍通法,为日。不满为馀。命日算外, 即所求年天正经朔加时入转日及馀秒。

  转法:七十六。

昏、明二刻二百四十分。

求次朔入转 因天正所入转差日一、转馀二千九百六十七、秒分一,盈转终日 馀秒者去之。数除如前,即次日经朔加时所入。考上下弦望,如求经朔四象术,循 变相加,若以经朔望小馀减之,各其日夜半所入转日及馀秒。

  转秒法:八十。

各置其气消息衰,依定气所有日,每以陟降率陟减、降加其分,满百从衰,各 得每日消息定衰。其距二分前后各一气之外,陟、降不等,皆以三日为限。雨水初 日,降七十八;初限,日损十二;次限,日损八;次限,日损三;次限,日损二; 次限,日损后。清明初日,陟一;初限,日益一;次限,日益二;次限,日益三; 次限,日益八;末限,日益十九。处暑初日,降九十九;初限,日损十九;次限, 日损八;次限,日损三;次限,日损二;末限,日损一。寒露初日,陟一;初限, 日益一;次限,日益二;次限,日益三;次限,日益八;末限,日益十二。各置初 日陟降率,依限次损益之,为每日率。乃递以陟减、降加气初消息衰,各得每日定 衰。

求朔弦望入朓朒定数 各朔其所入日损益而半之,为通率。又二率相减为率差。 前多者,以入馀减大衍通法,馀乘率差,盈大衍通法得一,并率差而半之。前少者, 半入馀,乘率差,亦以大衍通法除之,为加时转率。乃半之,以损益加时所入,馀 为转馀。其转馀,应益者,减法;应损者,因馀。皆以乘率差,盈大衍通法得一, 加于通率。转率乘之,大衍通法约之,以朓减朒加转率为定率。乃以定率损益朓朒 积为定数。其后无同率者,亦因前率,益者以通率为初数,半率差而减之。应通率, 其损益入馀,进退日者,分为二日,随馀初末如法求之,所得并以损益转率。此术 本出《皇极历》,以究算术之微变。若非朔望有交者,直以入馀乘损益,如大衍通 法而一,以损益朓朒为定数,各得所求。

  推天正经朔入转 以转终分去朔积分,不尽,以秒法乘,盈转终分又去之,馀如秒法一而入转分。不尽为秒。入转分满大衍通法,为日。不满为馀。命日算外,即所求年天正经朔加时入转日及馀秒。

南方戴日之下,正中无晷。自戴日之北一度,乃初数千三百七十九。自此起差, 每度增一,终于二十五度,计增二十六分。又每度增二,终于四十度。又每度增六, 终于四十四度,增六十八。又每度增二,终于五十度。又每度增七,终于五十五度。 又每度增十九,终于六十度,增百六十。又每度增三十三,终于六十五度。又每度 增三十六,终于七十度。又每度增三十九,终于七十二度,增二百六十。又度增四 百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。 又度增五千三百四十。各为每度差。因累其差,以递加初数,满百为分,分十为寸, 各为每度晷差。又累其晷差,得戴日之北每度晷数。

七日初:二千七百一,约为大分八。末:三百三十九,约为大分一。

  求次朔入转 因天正所入转差日一、转馀二千九百六十七、秒分一,盈转终日馀秒者去之。数除如前,即次日经朔加时所入。考上下弦望,如求经朔四象术,循变相加,若以经朔望小馀减之,各其日夜半所入转日及馀秒。

各置其气去极度,以极去戴日度五十六及分八十二半减之,得戴日之北度数。 各以其消息定衰所直度之晷差,满百为分,分十为寸,得每日晷差。乃递以息减、 消加其气初晷数,得每日中晷常数。

十四日初:二千三百六十三,约为大分七。末:六百七十七,约为大分二。

  求朔弦望入朓朒定数 各朔其所入日损益而半之,为通率。又二率相减为率差。前多者,以入馀减大衍通法,馀乘率差,盈大衍通法得一,并率差而半之。前少者,半入馀,乘率差,亦以大衍通法除之,为加时转率。乃半之,以损益加时所入,馀为转馀。其转馀,应益者,减法;应损者,因馀。皆以乘率差,盈大衍通法得一,加于通率。转率乘之,大衍通法约之,以朓减朒加转率为定率。乃以定率损益朓朒积为定数。其后无同率者,亦因前率,益者以通率为初数,半率差而减之。应通率,其损益入馀,进退日者,分为二日,随馀初末如法求之,所得并以损益转率。此术本出《皇极历》,以究算术之微变。若非朔望有交者,直以入馀乘损益,如大衍通法而一,以损益朓朒为定数,各得所求。

以其日处在气定小余,爻统减之,余为中后分。不足减,反相减,为中前分。 以其晷差乘之,如通法而一,为变差。以加、减中晷常数,冬至后,中前以差减, 中后以差加;夏至后,中前以差加,中后以差减。冬至一日,有减无加;夏至一日, 有加无减。得每日中晷定数。

二十一日初:二千二十四,约为大分六。末:一千一十六,约为大分三。

  七日初:二千七百一,约为大分八。末:三百三十九,约为大分一。

又置消息定衰,满象积为刻,不满为分。各递以息减、消加其气初夜半漏,得 每日夜半漏定数。其全刻,以九千一百二十乘之,十九乘刻分从之,如三百而一, 为晨初余数。

二十八日初:一千六百八十六,约为大分五。末:一千三百五十四,约为大分 四。

  十四日初:二千三百六十三,约为大分七。末:六百七十七,约为大分二。

各倍夜半漏,为夜刻。以减百刻,余为昼刻。减昼五刻以加夜,即昼为见刻, 夜为没刻。半没刻加半辰,起子初算外,得日出辰刻。以见刻加而命之,得日入。 置夜刻,五而一,得每更差刻。又五除之,得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻,得甲 夜初刻。又以更筹差加之,得五夜更筹所当辰。其夜半定漏,亦名晨初夜刻。

右以四象约转终日及馀,均得六日二千七百一分。就全数约为大分,是为之八 分。以减法,馀为末数。乃四象驯变相加,各其所当之日初末数也。视入转馀,如 初数以下者,加减损益,因循前率;如初数以上,则反其衰,归于后率云。

  二十一日初:二千二十四,约为大分六。末:一千一十六,约为大分三。

又置消息定衰,满百为度,不满为分。各递以息减、消加气初去极度,各得每 日去极定数。

求朔弦望定日及馀 以入气、入转朓朒定数,同名相从,异名相消。乃以朓减 朒加四象经小馀。满若不足,进大馀。命以甲子算外,各其定日及小馀。干名与后 朔叶同者,月大。不同者,小;无中气者,为闰月。凡言夜半者,皆起晨前子正之 中。若注历观弦望定小馀,不盈晨初馀数者,退一日。其望,小馀虽满此数,若有 交蚀,亏初起在晨初已前者,亦如之。又月行九道迟疾,则三大二小。以日行盈缩, 累增损之,则容有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所近而 进退之,使不过三小。其正月朔,若有交加时正见者,消息前后一两月,以定大小, 令亏在晦二。

  二十八日初:一千六百八十六,约为大分五。末:一千三百五十四,约为大分四。

又置消息定衰,以万二千三百八十六乘之,如万六千二百七十七而一,为度差。 差满百为度。各递以息加、消减其气初距中度,得每日距中度定数。倍之,以减周 天,为距子度。

推定朔弦望夜半日所在度 各随定气次日以所直日度及馀分命焉。若以五星相 加减者,以四约度馀。乃列朔弦望小馀,副之,以乘其日盈缩分,如大衍通法而一, 盈加缩减其副,以加其日夜半度馀,命如前,各其日加时日躔所次。

  右以四象约转终日及馀,均得六日二千七百一分。就全数约为大分,是为之八分。以减法,馀为末数。乃四象驯变相加,各其所当之日初末数也。视入转馀,如初数以下者,加减损益,因循前率;如初数以上,则反其衰,归于后率云。

置其日赤道日度,加距中度,得昏中星。倍距子度,以加昏中星,得晓中星。 命昏中星为甲夜中星,加每更差度,得五夜中星。

推月九道度 凡合朔所交,冬在阴历,夏在阳历,月行青道。冬、夏至后,青 道半交在春分之宿,殷黄道东。立冬、夏后,青道半交在立春之宿,殷黄道东南。 至所冲之宿亦如之也。冬在阳历,夏在阴历,月行白道。冬至夏至后,白道半交在 秋分之宿,殷黄道西。立北。至所冲之宿亦如之也。春在阳历,秋在阴历,月行硃 道。春、秋分后,硃道半交在夏至之宿,殷黄道南。立春立秋后,硃道半交在立夏 之宿,殷黄道西南。至所冲之宿亦如之也。春在阴历,秋在阳历,月行黑道。春、 秋分后,黑道半交在冬至之宿,殷黄道北。立春立秋后,黑道半交在立冬之宿,殷 黄道东北。至所冲之宿亦如之也。四序离为八节,至阴阳之始交,皆以黄道相会, 故月有九行。各视月交所入七十二候,距交初黄道日每五度为限。交初交中同。亦 初数十二,每限减一,数终于四,乃一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十 二,而至半交,其去黄道六度。又自十二,每限减一,数终于四,亦一度强,依平。 更从四起,每限增一,终于十二,复与日轨相会。各累计其数,以乘限度,二百四 十而一,得度。不满者,二十四除,为分。若以二十除之,则大分。十二为母,命 以半太及强弱也。为月行与黄道差数。距半交前后各九限,以差数为减;距正交前 后各九限,以差数为加。此加减是出入六度,单与黄道相交之数也。若交赤道,则 随气迁变不恆。计去冬至夏至以来候数,乘黄道所差,十八而一,为月行与赤道差 数。凡日以赤道内为阴,赤道外为阳;月以黄道内为阴,黄道外为阳。故月行宿度 入春分交后行阴历,秋分交后行阳历,皆为同名;若入春分交后行阳历,秋分交后 行阴历,皆为异名。其在同名,以差数为加者加之,减者减之;若在异名,以差数 为加者减之,减者加之。皆以增损黄道度为九道定数。

  求朔弦望定日及馀 以入气、入转朓朒定数,同名相从,异名相消。乃以朓减朒加四象经小馀。满若不足,进大馀。命以甲子算外,各其定日及小馀。干名与后朔叶同者,月大。不同者,小;无中气者,为闰月。凡言夜半者,皆起晨前子正之中。若注历观弦望定小馀,不盈晨初馀数者,退一日。其望,小馀虽满此数,若有交蚀,亏初起在晨初已前者,亦如之。又月行九道迟疾,则三大二小。以日行盈缩,累增损之,则容有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所近而进退之,使不过三小。其正月朔,若有交加时正见者,消息前后一两月,以定大小,令亏在晦二。

凡九服所在,每气初日中晷常数不齐。使每气去极度数相减,各为其气消息定 数。因测其地二至日晷,测一至可矣,不必兼要冬夏。于其戴日之北每度晷数中, 较取长短同者,以为其地戴日北度数及分。每气各以消息定数加减之,因冬至后者, 每气以减。因夏至后者,每气以加。得每气戴日北度数。各因所直度分之晷数,为 其地每定气初日中晷常数。其测晷有在表南者,亦据其晷尺寸长短与戴日北每度晷 数同者,因取其所直之度,去戴日北度数。反之,为去戴日南度。然后以消息定数 加减之。

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